Progresia aritmetică si geometrică

Progresia aritmetică

Definiție: Un șir de numere în care fiecare termen începând cu al doilea se obține din cel precedent prin adăugarea aceluiași număr se numește progresie aritmetică.

Altfel spus: un șir de numere $a_1,\ a_2,\ a_3$ , …, $a_n$ este o progresie aritmetică notată $\div$ dacă pentru $(\forall)k>1$ avem $a_{k+1}=a_k+r -> r$ un număr constant pentru șirul dat se numește rație.

Putem defini o progresie aritmetică ca fiind un șir $(a_n)\ n\in\mathbb{N}^\ast:\ a_{n+1}=a_n+r$ (1)

Din $(1) => r=a_{n+1}-a_n (2)$

Teoremă: orice termen al unei progresii aritmetice începând cu al II-lea este media aritmetică ai termenilor vecini lui, adică pentru $(\forall)n\geq2$ avem:

(3) $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Consecință: $a,b,c\ \div\ <=>\ b=\frac{a+c}{2}\ <=>\ 2b=a+c$

Teoremă reciprocă: Dacă un șir de numere are proprietatea că fiecare termen al său este media aritmetică a vecinilor, atunci acest șir este o progresie aritmetică.

Formula termenului general al unei progresii artimetice

Observație: Cunoscând primul termen și rația unei progresii aritmetice $a_n$ se poate da o formulă care permite să găsească orice termen al progresiei

(4) $a_n=a_1+(n-1)r$

Formula sumei primilor n termeni a unei progresii aritmetice

Fie ${(a_n)}_{n\geq1}\ \div$

Teoremă: Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este egală cu formula

(5) $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

Progresia geometrică

Definiție: Un șir de numere al cărui prim termen este nenul, iar fiecare termen al său se obține prin termenul precedent

Observăm: Altfel spus o progresie geometrică este un șir în care $b_{n+1}=b_n*q$ (1)

Din $(1) => q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$ (2)

Teoremă: orice termen al unei progresii geometrice cu termini pozitivi $b_1,\ b_2,\ b_3$ , …, $b_n$ începând cu al II-lea este media geometrică ai termenilor vecini lui.

$(\forall)n\geq2 b_n=\sqrt{b_{n+1}*b_{n-1}}$ (3)

Observație: $(\forall)a,b,c$ 3 numere care sunt în progresie geometrică <=> $b=\sqrt{a*c}$

Reciprocă: Dacă un șir de numere cu termeni pozitivi are proprietatea că fiecare termen al său începând cu al II-lea este media geometrică a termenilor vecini lui atunci acest șir este o progresie geometrică.

Formula termenului general

Termenul general al unei progresii geometrice este dat de formula:

$b_{n+1}=b_1*q^{n-1}$ (4)