Forma trigonometrică

Observație: Poziția punctului M în plan poate fi determinat și de coordonatele polare ale punctului M acesta fiind

$r$ = lungimea segmentului [OM]

$\varphi$ = unghiul pe care il face [OM] cu Ox, unghi măsurat trigonometric (inversul acelor de ceasornic)

$\varphi$ = t = argument polar

$r$ = rază polară

Exprimarea coordonatelor carteziene în funcție de coordonatele polare

$r,\varphi\ \rightarrow\ x,y$

∆OAM – ∆ dreptunghic

Observație: Știind că $z=x+yi$ în locul formulei (1)

$z=rcos\varphi+irsin\varphi$

$z=r(cos\varphi+isin\varphi)$ (2) forma trigonometrică a unui număr complex

Exprimarea coordonatelor polare în funcție de coordonatele carteziene

$r,f$
$x,y$

Exprimarea coordonatelor carteziene în funcție de coordonatele polare

$r,\varphi\ \rightarrow\ x,y$

∆OAM – ∆ dreptunghic

Observație: Știind că $z=x+yi$ în locul formulei (1)

$z=rcos\varphi+irsin\varphi$

$z=r(cos\varphi+isin\varphi)$ (2) forma trigonometrică a unui număr complex

Exprimarea coordonatelor polare în funcție de coordonatele carteziene

$r,f$
$x,y$

$x^2+y^2=r^2\left({cos}^2\varphi+{sin}^2\varphi\right)$ =>

$r^2=x^2+y^2$

$r>0$

$=>r=\ \sqrt{x^2+y^2}$ (3)

Din (1) => $\ \frac{y}{x}=\frac{rsin\varphi}{rcos\varphi}=>tg\varphi=\frac{y}{x}=>\varphi=arctg\frac{y}{x}+k\pi$ (4)

unde:

$k=0$ pentru $M\left(x,y\right)\in$ cad I

$k=1$ pentru $M\left(x,y\right)\in$ cad II, III

$k=2$ pentru $M\left(x,y\right)\in$ cad IV

Operații trigonometrice de adunare și scădere a numerelor complexe

Fie z_1=r_1(cos\ t_1+isin\ t_1) și z_2=r_2(cos\ t_2+isin\ t_2)

z_1+z_2=r_1cos\ t_1+r_2cos\ t_2+i(r_1sin\ t_1+r_2sin{\ t}_2)

Înmulțirea

$z_1z_2=r_1r_2\left(cos\ t_1+isin{\ t}_1\right)\left(cos\ t_2+isin{\ t}_2\right)$

$z_1z_2=r_1r_2(cos\ t_1cos\ t_2-sin{\ t}_1sin\ t_2+i(cos{\ t}_1sin\ t_2+cos\ t_2sin\ t_1)$

$z_1z_2=r_1r_2(\cos{\left(t_1+t_2\right)}+isin\left(t_1+t_2\right))$ (1)

Împărțirea

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(cos\ t_1+isin\ t_1)}{r_2(cos\ t_2+isin{\ t}_{2)}}$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos{\left(t_1-t_2\right)}+isin(t_1-t_2)$ (2)

Observație: Formula (1) se poate aplica și în cazul a n numere complexe

Fie $z_k=r_k\left(cos\ k+isin\ k\right)\ \ \ \ \ k=\bar{1,n}$

(3) $z_1z_2 ... z_n=r_1r_2 ... r_n\left(\cos{\left(t_1+t_2+ ... +t_n\right)}+isin\left(t_1+t_2+ ... +t_n\right)\right)$ =>

$z^n=r^n(cos\ nt+isin\ nt)$ (4)

Inversul lui z

$z=r\left(cos\ t+isin\ t\right)$

$\frac{1}{z}=\frac{cos\ 0+sin\ 0}{r\left(cos\ t+isin\ t\right)}$

$z^{-1}=\frac{1}{r}\left(\cos{\left(0-t\right)}+isin\left(0-t\right)\right)=\frac{1}{r}\left(\cos{\left(-t\right)}+isin\left(-t\right)\right)=>$

$z^{-1}=\frac{1}{r}(cos\ t-isin\ t)$ (5)

Formula lui Moivre

$z=(cos\ t+isin\ t)$

${(cos\ t+isin\ t)}^n=cos\ nt+isin\ nt$

Rădăcinile de ordinul n dintr-un număr complex

Definiție: Numărul complex $z=r\left(cos\ t+isin\ t\right)$ , $\ z\neq0$ este rădăcina de ordin n, $\ n\in\mathbb{N},\ \ n\geq2$ a numărului complex

$z=r\left(cos\ t+isin\ t\right)$ , $\ z\neq0$ dacă $z^n=z$

Teoremă: Fie $z=r\left(cos\ t+isin\ t\right),\ z\neq0,\ t\in[0,\ 2\pi]$

Rădăcinile distincte de ordin n ale lui z sunt în număr de n și sunt date de formula

$z_k=\sqrt[n]{r}(cos\ \frac{t+2k\pi}{n}+sin\ \frac{t+2k\pi}{n}) , k\in{0,1,...,n-1}$

Înapoi la Lecție

Lasă un comentariu

Forma trigonometrică

Leave a Comment Anulează răspunsul