Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate și inversabilitate

1. Injective

Fie f:A→B

Def. O funcție f:A→B se numește funcție injectivă dacă oricare element din B este imaginea prin f a cel mult unui element din A, altfel spus, f:A→B este injectivă dacă pentru $(\forall)$ y ϵ B, f(x)=y are cel mult o soluție, x ϵ A.

Teoremă: f:A→B este injectivă $\Leftrightarrow$ 2 elemente diferite oarecare din A au imagini diferite în B prin funcția f.

f – injectivă $\Leftrightarrow (\forall)x_1,x_2$ ϵA cu $x_1\neq x_2$ => $f\left(x_1\right)\ \neq f\left(x_2\right)$

Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate și inversabilitate - image 32

Def. Funcția f:A→B este injectivă dacă pentru $(\forall)x_1,x_2$ ϵ A cu $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) => x_1=x_2$

Dem. $(\forall)x_1,x_2\in\ \mathbb{R}, f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) => x_1=x_2$

$f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ => $2x_1-1={2x}_2-1=>2x_1=2x_2$ => $x_1=x_2$ => f injectivă

Obs. Geometric, utilizând graficul unei funcții se poate demonstra că o funcție f este injectivă dacă oricare paralelă Ox dusă printr-un punct al codomeniului taie graficul în cel mult un punct.

Teoremă: Oricare funcție $f:\ \mathbb{R}→\ \mathbb{R}$ , strict monotonă ( strict crescătoare/ strict descrescătoare) este funcție injectivă.

2. Surjectivitate

Def. O funcție f:A→B se numește funcție surjectivă dacă oricare element din B este imaginea prin f a cel puțin unui element din A , altfel spus: f:A→B este surjectivă dacă pentru $(\forall)$ y ϵ B, ecuația $f\left(x\right) = y$ cel puțin o soluție x ϵ A.

Reformulare: Funcție f:A→B este surjectivă dacă $(\forall)$ y ϵ B, $(\exists)$ x ϵ A a.î. $f\left(x\right)=y$ .

Obs.

Funcția f este surjectivă dacă oricare paralelă la Ox dusă printr-un punct al codomeniului taie graficul în cel puțin un punct.

Funcția f:A->B este surjectivă dacă și numai dacă $Imf=B$ .

Compunerea a două funcții surjective este tot o funcție surjectivă.

3. Bijecție

Def. O funcție f:A→B este funcție bijectivă dacă ea este și injectivă și surjectivă, ecuația $f\left(x\right)=y$ are o singură soluție x ϵ A.

Obs.

Funcția f este BIJECTIVĂ dacă pentru orice y ∈ B, ecuația $f(x)=y$ are O SINGURĂ SOLUȚIE.

4. Funcții inversabile

Fie f:A→B o funcție reală

$f^{-1}\neq\frac{1}{f}$

Def. Fie f:A→B o funcție bijectivă se numește funcția inversă a funcției f, g: B→A, care asociază fiecărui element y din B, elemental unic x din A, a. î. $f\left(x\right)=y$ .

O funcție care este inversă spunem că este „inversabilă”.

Teoremă: O funcție f:A→B este inversabilă dacă și numai dacă f este bijectivă.

Algoritm de determinare:

Se demonstrează că f este bijectivă (injectivă și surjectivă).
Se rezolvă ecuația $f\left(x\right)=y$ , y ϵ B de necunoscută x și avem $x = g\left(y\right)$ .
Funcția g:A→B este inversa funcției f.
Pentru $g=f^{-1} y\rightarrow x$ (se schimba notația din y in x)

Înapoi la Lecție

Lasă un comentariu

Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate și inversabilitate

Leave a Comment Anulează răspunsul