Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi

1) Egalitatea a două matrice

Def. Fie A, B ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ cu $A = (a_{ij})$ , $B = (b_{ij})$ , $i = \bar{1,m}$ , $j = \bar{1,n}$ .

Spunem că $A = B \Leftrightarrow a_{ij} = b_{ij} (\forall) i = \bar{1,m} , (\forall) j = \bar{1,n}$

2) Adunarea matricelor

Def 2. Fie A, B ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ cu $A = (a_{ij}) , B = (b_{ij}) , i = \bar{1,m} , j = \bar{1,n}$ .

Numim suma matricelor A și B matricea C= A+B ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ cu $C = (c_{ij}), c_{ij} = a_{ij}+\ b_{ij} , (\forall) i = \bar{1,m} , (\forall) j = \bar{1,n}$ .

Proprietăți ale adunării matricelor

A1) $( A + B ) + C = A + ( B + C ), (\forall) A, B, C$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ – Adunarea matricelor este asociativă.

A2) $A + B = B + A, (\forall) A, B$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ – Adunarea matricelor este comutativă.

A3) $(\exists) O_{m,n}$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ a. î. $A + O_{m,n} = O_{m,n} + A = A, (\forall) A$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ – Matricea nulă este element neutru la adunarea matricelor.

A4) $(\forall) A$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} ) A = (a_{ij}), (\exists) -A$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} ) -A = -\ a_{ij}$ a. î. $A + (-A) = (-A) + A = O_{m,n}$ – Orice matrice are o opusă.

Obs. $A - B = A + (-B)$

3) Înmulțirea matricelor cu scalar

Def 3. A ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ cu $A = (a_{ij}) , i = \bar{1,m} , j = \bar{1,n}, \lambda\in\mathbb{C}$ .

Numim produs între scalarul $\lambda$ și matricea A, matricea B = $\lambdaA$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$

$B = (b_{ij}), b_{ij} = \lambda a_{ij}, (\forall) i = \bar{1,m} , (\forall) j = \bar{1,n}$ .

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalar

S1) $1*A = A, (\forall)$ A ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$

S2) $0*A = O_{m,n}$ , $(\forall)$ A ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$

S3) $\lambda * O_{m,n} =O_{m,n}, (\forall) \lambda\in\mathbb{C}$

S4) $(\alpha+\ \beta) A = \alphaA + \betaA, (\forall) \alpha,\ \beta\ \in\mathbb{C}, (\forall)A, B$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$

S5) $\alpha (A + B)=\alphaA + \alphaB, (\forall) \alpha\ \in\mathbb{C}, (\forall)A, B$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$

S6) $(\alpha\beta)A = \alpha(\betaA), (\forall) \alpha,\ \beta\ \in\mathbb{C}, (\forall)A$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$

4) Transpusa unei matrice

Def 4. Fie A ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ cu $A = (a_{ij}) , i = \bar{1,m} , j = \bar{1,n}$ .

Numim transpusa matricei A o matrice $A^T= ( a_{ij}^t), i = \bar{1,m} , j = \bar{1,n} ϵ M_{m,n}(\mathbb{C} )$ .

Dată prin $a_{ij}^t = a_{ji}, (\forall) i = \bar{1,m} , (\forall) j = \bar{1,n}$ .

Proprietățile transpusei

T1) ${(A^t)}^t = A$ , $(\forall)A$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$

T2) ${(A\ +\ B)}^t=\ A^t+\ B^t, (\forall)A, B$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$

T3) ${(\lambda A)}^t=\ \lambda\ {(A)}^t, (\forall) \lambda\in\mathbb{C}, (\forall)A$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$

Înmulțirea matricelor

Def. Fie A ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ cu $A = (a_{ij}) , i = \bar{1,m} , j = \bar{1,n}$ și B ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} )$ cu $B = (b_{jk}) , j = \bar{1,n} , k = \bar{1,p}$ .

Numim produsul matricelor A și B matricea $C = A*B ϵ M_{m,k}(\mathbb{C} )$ , $C = (c_{ik}), i = \bar{1,m}, k = \bar{1,p}$ date prin $c_{ik}=\ \sum_{j=1}^{n}{a_{ij}b_{jk}}$ .

Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi - image 40

Proprietățile înmulțirii matricelor

I1) $(AB)C = A(BC), (\forall)A$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} ), (\forall)B$ ϵ $M_{n,p}(\mathbb{C} ), (\forall)C$ ϵ $M_{p,q}(\mathbb{C} )$ ( asociativă )

Obs. În general, înmulțirea matricelor nu este comutativă AB ≠ BA.

I2) $(\exists) I_n$ ϵ $M_n(\mathbb{C} ), I_n=\ \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$ a. î. $AI_n = I_nA = A , (\forall) A$ ϵ $M_n(\mathbb{C} )$ .

Matricea unitate este element neutru la înmulțirea matricelor pătratice.

I3) $A ( B + C ) = AB + AC , (\forall)A$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} ), (\forall)B, C$ ϵ $M_{n,p}(\mathbb{C} )$

$( A + B ) C = AC + BC , (\forall)A, B$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C} ), (\forall)C$ ϵ $M_{n,p}(\mathbb{C} )$ este distributivă la stânga, respectiv la dreapta $( AC + CB )$

I4) $\lambda(AB) = (\lambdaA)B = A(\lambdaB) , (\forall) \lambda\in\mathbb{C}, (\forall)A$ ϵ $M_{m,n}(\mathbb{C}\ ), (\forall)B$ ϵ $M_{n,p}(\mathbb{C} )$