Ecuații

Ecuații iraționale

Definiție: Se numește ecuație irațională, o ecuație în care necunoscută figurează sub unul sau mai mulți radicali.

Observație: Înainte de rezolvare a fiecărei ecuații iraționale se impun condițiile de existență asupra radicalilor.

Tipuri de ecuații exponențiale:

$a^{f(x)} = a^{g(x)} <=> f(x)=g(x)$ , a>0, a≠1
$a^{f(x)}=b,a>0$ ,a ≠1

Dacă b≤0 ecuația nu are soluții (exponențiala ia valori strict pozitive).

Dacă b>0 ecuația are cel puțin o soluție. De regulă se logaritmeaza ambii membri în baza a.

Ecuații de forma: $c_1 a^{2f(x)} + c_2 a^{f(x)}+ c_3=0$

Metoda de rezolvare a acestui tip se rezolvă prin substituție. Se notează $a^{f(x)}=y$ >0 și se obține ecuație de gradul al II-lea în y.

$c_1 y^2 +c_2 y + c_3=0$ cu valorile $y_1$ și $y_2$ .

$a^{f(x)}=y_i$ , i=1,2 are soluții dacă $y_i>0$ .

În general ecuațiile de forma $f(a^2)=0$ se rezolvă substituind $a^x=y$ și apoi rezolvarea ecuației exponențiale $a^x=y$ , unde $y_i$ sunt soluțiile ecuației $f(y)=0$ . În final reuniunea acestor soluții reprezintă mulțimea de soluții pentru ecuația dată.
Ecuații exponențiale de tipul:

$c_1 a^{f(x)} +c_2 b^{f(x)} + c_3=0, a,b>0$ , a,b ≠1, $a*b=1$

Metoda de rezolvare este o ecuație exponențială în care figurează bazele cu proprietatea ca $a*b=1=>b=\frac{1}{a}$ .

Ecuația devine $c_1a^{f(x)} + \frac{c_2}{a^{f(x)}} + c_3=0$ .

Se noteaza $a^{f(x)}=y>0 =>$ ecuație de gradul al II-lea în y,

$c_1 y^2 + c_2 y + c_3=0$ cu soluțiile $y_1$ și $y_2$ . Se revine la substituție și se rezolvă ecuația $a^{f(x)}=y$ ,i=1,2 .

Ecuații exponențiale de forma:

$c_1a_1^{2f(x)} + c_2 a_2^{2f(x)} + c_3(a_1 a_2)^{f(x)}=0$ , $a_i>0$ , $a_(i )≠1$

Metoda de rezolvare pentru acest tip se numește omogenă deoarece fiecare termen al ecuației, respectiv a_1 și a_2 au același exponent.

Împărțim ambii membri prin $a_2^{2f(x)}$ , rezultând $=>$ $c_1 (\frac{a_1}{a_2} )^{2f(x)} +c_3 (\frac{a_1}{a_2} )^{f(x)} + c_2=0$ , care este de tipul 3. Se mai poate împărți cu $(a_1/a_2 )^{f(x)}$ , rezultând $=> c_1 (\frac{a_1}{a_2} )^{f(x)} +c_2 (\frac{a_2}{a_1} )^{f(x)} + c_3=0$ , care este de tipul $c_1 a^{f(x)} +c_2 b^{f(x)} + c_3=0, a,b>0$ , a,b ≠1, $a*b=1$ .

Ecuații logaritmice

Definiție: Se numește ecuație logaritmică a ecuația în care necunoscută apare fie ca bază a unui logaritm fie ca argument al logaritmului.
Observație: Înainte de rezolvarea oricărei ecuații logaritmice se impun condițiile de existență asupra logaritmului, respectiv logaritmilor ce apar în ecuație.

Tipuri de ecuații logaritmice:

Obs: Există și alte tipuri de ecuații logaritmice care se pot aduce la forma unei ecuații fără logaritm prin diferite substituții sau folosind proprietățile logaritmilor

Ecuații trigonometrice

Definiție: Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice.

Tipuri de ecuații trigonometrice:

$sin⁡\ f(x)=sin\ g(x)$
$cos\ ⁡f(x)= cos\ ⁡g(x)$
$tg⁡\ f(x)= tg⁡\ g(x)$
$ctg⁡\ f(x)= ctg⁡\ g(x)$