Funcția exponențială și funcția logaritmică

Funcția exponențiala

Def. Fie $a>0$ , a≠1, funcția $f:\ \mathbb{R}$ →(0,∞), $f\left(x\right)=a^x$ se numește funcție exponențială.

Obs. Discuția funcției exponențiale se face în două cazuri:

1° $a> 1$

2° $0 < a < 1$

Dacă $a=1$ atunci $f\left(x\right)=\ 1^x => f\left(x\right)=1$ , funcție constantă.

Prop.

$a^x>0,\left(\forall\right)x\in\ \mathbb{R},\ \left(\forall\right)a>0,\ a\neq1=>\ f\left(x\right)>0,\ \left(\forall\right)x\in\mathbb{R}$ => graficul funcției este situat deasupra axei $Ox$ .
$f\left(0\right)=\ a^0=1=>A(0,1)\in$ tuturor graficelor funcțiilor exponențiale
Funcția exponențială $f\left(x\right)=a^x$ este o funcție continua în sensul că graficul ei este o curbă continua.
Graficul funcției exponențiale se obține prin puncta.
Funcția exponențială pentru $a>1 =>f\left(x\right)=a^x$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ .
Funcția exponențială este funcție convexă.

Axa $O_x$ este asimptotă orizontală la -∞ pentru graficul funcției exponențiale în sensul că graficul funcției se apropie din ce în ce mai mult de $O_x$ , ramură spre -∞ fără să se apropie. Funcția exponențială este concavă, funcția exponențială este descrescătoare.

Funcția exponențială este funcție bijectivă => inversabilă, inversa funcției exponențiale fiind funcția logaritmică.

Funcția logaritmică

Def. Funcția $f:\ (0,\infty)\rightarrow\mathbb{R} ,f\left(x\right)=\log_a x,\ a>0,\ a\neq1$ se numește funcție logaritmică.

Obs. Din definiție deducem că $\left(\exists\right){log}_a\left(g\left(x\right)\right)\Leftrightarrow g\left(x\right)>0$

Prop.

Pentru $x=1 => f(1)=log_0{1}=0 =>A(1,0)$ aparține graficului funcției
Dacă $a>1$ => funcție logaritmică strict crescătoare, adică pentru $(\forall)x_1,x_2\in\left(0,\ \infty\right)\ cu\ x_1<x_2$ => $\log_a x_1<\log_a x_2$
Dacă a>0, a<1 => funcție logaritmică strict descrescătoare, adică pentru $(\forall)x_1,x_2\in\left(0,\ \infty\right)$ cu $x_1<x_2$ => $\log_a x_1>\log_a x_2$
Graficul funcției logaritm se trasează prin puncte